Отчет по лабораторной работе «Исследование колебаний линейных и нелинейных систем методом фазовой плоскости»

Цель: Изучение колебаний линейных и нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, на фазовой плоскости.
Ход работы
1. Исследование линейного осциллятора.
1.1. Неустойчивый узел.

1.2. Неустойчивый фокус.

1.3. Центр.


1.4. Седло.

1.5. Устойчивый фокус.

1.6. Устойчивый узел.

1.7. Центр.

1.8. Устойчивый фокус.

1.9. Неустойчивый фокус.

1.10. Устойчивый узел.


1.11. Неустойчивый узел.

1.12. Седло.

2. Исследование маятника.
2.1. Маятник без затухания.


2.2. Маятник с затуханием.

2.3. Маятник с отрицательным затуханием.

3. Исследование автоколебательных систем.
3.1. Мягкий режим работы.

Система имеет один устойчивый предельный цикл. Его радиус Rst находим из уравнения G(x) = 0, которое при В = 0 имеет вид

При А = -1 решение даёт Rst = 2.

3.2. Исследование колебаний при большой нелинейности.

Заметим, что предельный цикл пересекается с осью X при X = 2, т.е. там же, где это было при малых Е.
3.3. Жёсткая колебательная система.

3.4. Система с полуустойчивым предельным циклом.

4. Контрольные вопросы.
4.1. Метод фазовой плоскости является графоаналитическим методом интегрирования линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка типа

4.2. Для системы с одной степенью свободы фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость. В каждый данный момент времени состояние системы характеризуется значениями x(t) и y(t), т.е. положением так называемой фазовой точки на фазовой плоскости. Траектория движения фазовой точки называется фазовой траекторией. Рисунок фазовой плоскости, заполненный фазовыми траекториями, называется фазовым портретом системы.
4.3. В методе изоклин находят геометрическое место точек (линию) на фазовой плоскости, в которых угол наклона касательных к фазовой траектории один и тот же:

4.4. Особые точки – это точки, направление касательных в которых не определено. Поэтому через них проходят интегральные кривые под разными наклонами. В них

4.5. Состояние считается устойчивым, если любые достаточно малые отклонения от него со временем затухают. Состояние неустойчиво, если хотя бы одно из этих отклонений нарастает.
4.6.